Вот такие числа, состоящие долей единицы, и называются дробями.
Они бывают обыкновенными и десятичными. Обыкновенные дроби записываются с горизонтальной чертой или же косой (7/8, 3/5), разделяющей два числа, из которых верхнее называется числителем, а нижнее – знаменателем. Последний показывает, на сколько долей мы разделили единицу («разрезали яблоко», образно говоря), а числитель – сколько их «взяли»). Числитель меньше знаменателя – это дробь правильная, если наоборот – неправильная. Собственно, неправильная дробь – это та, в которую «забралась» целая единица, и мы может её оттуда «вытащить», для этого достаточно разделить знаменатель на числитель с остатком – скажем, 12/9, вычитаем 9 из 12, получаем три, и можем записать так: 1 3/9, это уже будет смешанная дробь. Если же числитель на знаменатель разделился без остатка, мы будем иметь целое число, без дробей.
Другой вид дробей – десятичные. Если в применительно к обыкновенным дробям мы можем делить единицу на любое количество долей, то в дробях десятичных деление идёт лишь на числа, кратные 10: само 10, 100, 1000 и т.д. «Границей», разделителем между целым числом и его дробной частью (которая может быть и равна нулю) здесь служит запятая. Первая цифра после запятой – десятые доли, вторая – сотые, третья – тысячные и т.д.
Вспомним теперь, как над всем этим производят арифметические действия. Начнём с обыкновенных дробей. Проще всего делается умножение: числитель перемножаем с числителем, знаменатель со знаменателем, например 3/4 * 5/6=15/24. Выглядит не вполне вразумительно (всё-таки сложно «резать яблоко» на 24 части!), чтобы было проще – разделим и числитель, и знаменатель на одно и то же число (это называется сокращением дроби). Разумеется, число должно быть такое, на которое оба числа делятся нацело, в нашем случае – три, получилось 5/8.
С делением немного сложнее, придётся умножить числитель одной дроби на знаменатель другой, а её знаменатель – на числитель. Например, 3/9:2/3=9/18, опять же сокращаем, получаем ½.
А вот для сложения или вычитания обыкновенных дробей нам потребуется привести их к общему знаменателю. Берём число, на которое делятся нацело оба знаменателя (если такового нет, попросту их перемножаем), это и будет наш общий знаменатель. У каждой дроби делим это число на знаменатель, полученный результат умножаем на числитель – и получаем новую дробь. Например, 5/6+4/9. Общим знаменателем у нас будет 18 – оно делится и на 6, и на 9. 18:6=3, умножаем 5 на три, первая дробь у нас превратилась в 15/18. Производим подобную операцию над второй дробью, получаем 8/9. Теперь оставляем знаменатель в неприкосновенности, а числители складываем, получается 23/18. Это неправильная дробь, как сделать её смешанной, мы уже знаем – 1 5/18. Сходным образом делается вычитание.
Действия с десятичными дробями делаются практически так же, как с целыми числами. При сложении и вычитании точно так же располагают сотни под сотнями, десятки под десятками, а после запятой – десятые под десятыми, сотые под сотыми и т.д.
Умножают сначала не принимая запятую во внимание, а затем отделяя ею столько цифр с конца, сколько их было после запятой в общей сложности у множителей. Например, 1,5*0,3 умножаем как 15 на 3, получается 45, затем отделяем запятой два знака, получается 0,45.
При делении запятую в делителе убираем, а в делимом переносим вправо на столько знаков, сколько их было после запятой в делителе, не хватает знаков – добавляем нули. Например, если надо разделить 14 на 0,5 – делить будем 140 на 5.
Разговор о десятичных дробях будет неполным, если не упомянуть об округлении. Обычно такую «операцию» производят над дробями, у которых количество знаков после запятой превышает все мыслимые и немыслимые пределы, прежде всего – над периодическими, у которых некоторая последовательность цифр (период) повторяется бесконечно, но ничто не мешает сделать это над любой десятичной дробью. Это делает дробь менее точной, но более краткой. Смысл в том, что если последующее число меньше пяти, предыдущее остаётся прежним, а если пять и больше – к нему прибавляют 1. Например, 3,62 округляется как 3,6, а 3,67 – как 3,7. Именно так поступают в наше время кассиры после очередного исчезновения из обихода копеечных монет: больше пяти копеек – округляют в пользу магазина, меньше – в пользу покупателя.
