icon-star icon-cart icon-close icon-heart icon-info icon-pause icon-play icon-podcast icon-question icon-refresh icon-tile icon-users icon-user icon-search icon-lock icon-comment icon-like icon-not-like icon-plus article-placeholder article-plus-notepad article-star man-404 icon-danger icon-checked icon-article-edit icon-pen icon-fb icon-vk icon-tw icon-google
ёли€ Ѕойко
ќбучение

„то такое арифметические прогрессии и как их решать?

  • 5797
  • 7

„то такое арифметические прогрессии и как их решать?

ѕ
ѕоследовательность величин, где каждый член находитс€ в определенной зависимости от предыдущего, называют прогрессией. ¬ насто€щий момент этот термин немного устарел и используетс€ только в таких словосочетани€х, как арифметическа€ и геометрическа€ прогрессии. —лово Ђпрогресси€ї имеет латинские корни, а сам термин был введен в оборот Ѕоэцием Ц римским богословом, государственным де€телем и философом. ѕрименительно к математике этот термин необходимо понимать как последовательность, котора€ построена в соответствии с определенной логикой и которую, таким образом, можно продолжать бесконечно.

јрифметической прогрессией называют числовую последовательность, в которой каждый последующий член больше предыдущего на одно и то же число (начина€ со второго члена прогрессии). ¬ажное место в арифметической прогрессии занимает число d, которое обозначает разность прогрессии (ее еще называют шагом прогрессии), т.е. то, кака€ будет разница между последующими членами прогрессии. „исло d можно высчитать по такой формуле:

an+1+1 Ц an = d

јрифметическа€ прогресси€ считаетс€ возрастающей, если d>0 и убывающей, если d<0, а если d=0, то все члены прогрессии равн€ютс€ числу a и така€ прогресси€ считаетс€ стационарной.

ѕроверить €вл€етс€ ли числова€ прогресси€ арифметической можно при помощи таких формул:

a) an = 2n - 1, b) 3, 6, 9, ..., 3k, ... c) an = 1/n

јрифметические прогрессии были известны люд€м с давних времен. ѕервые упоминани€ о них находили еще в клинописных вавилонских табличках, а также на египетских папирусах. «десь можно увидеть и сами прогрессии и объ€снени€ как их необходимо решать. “ак, в древнеегипетском папирусе јхмеса, который датируетс€ 2000 г. до н.э. есть така€ задача: ЂЌужно разделит 10 мер €чмен€ между 10-ми людьми, чтобы разность между мерами составл€ла 1/8 мерї. ј в 3 веке до н.э. ƒиофант доказал формулу суммы членов арифметической прогрессии, а в книге ≈вклида ЂЌачалаї представлена формула суммы геометрической прогрессии. √еометрической прогрессией €вл€етс€ последовательность чисел, где каждое последующее число равно предыдущему, умноженному на определенное число посто€нное дл€ данной прогрессии (q).

≈сть также интересна€ истори€, св€занна€ с арифметическими прогресси€ми. “ак известный немецкий математик  . √аусс (1777 Ц 1855 гг.) сумел решить задачу, в которой нужно было сложить все числа от 1 до 100, всего лишь за одну минут. ƒело в том, что он сумел заметить закономерность, т.е. пон€л, что 1+100=101, 2+99=101, 3+98=101, 4+97=101 и т.д. “огда он умножил 101 на 50, где 50 было количеством таких сумм.

 стати, с арифметической прогрессией св€зана еще одна интересна€ истори€. —читаетс€, что математик ћуавр сумел предсказать свою гибель, использу€ арифметическую прогрессию. ќднажды он заметил, что продолжительность его сна стала увеличиватьс€ в прогрессии, он решил посчитать врем€, когда она достигнет 24 часов, именно этот день он и Ђназначилї днем своей смерти. ¬се случилось в соответствии с Ђпредсказаниемї. ѕравда, не €сно насколько можно верить такой легенде, но давайте вернемс€ непосредственно к прогресси€м. ƒл€ решени€ арифметических прогрессий существуют две основные формулы.

„аще всего, объ€сн€€ ученикам арифметические прогрессии, учител€ требуют находить ее первый член, n-ый член, разность арифметической прогрессии, а также суммы всех членов прогрессии.

ƒл€ того чтобы найти сумму n первых членов прогрессии используетс€ така€ формула:

Sn = a1 * n + d * n * (n Ц 1)/2

Ќапример, a1 = 2, n = 9, d = 5

“огда sn = 2 * 9 + 5 * 9 * (9 Ц 1)/2 = 18 +135 = 153

≈сли же n-ый член прогрессии неизвестен, но известна разность и номер n-ного числа, то сумму арифметической прогрессии можно найти так:

Sn = (a1 + an)* n/2

“ак, если a1 = 5, an = 25, n = 5, то

Sn = (5 + 25) * 5 / 2 = 150/2 = 75

ј дл€ того чтобы найти n элемент прогрессии вам нужно будет воспользоватьс€ такой формулой:

an = a1 + d * (n Ц 1)

»так, пусть a1 = 3, d = 2, а n = 6

“огда an = 3 + 2 * (6 Ц 1) = 5 * 5 = 25

ћожно использовать такую формулу дл€ нахождени€ соседних элементов прогрессии:

an + 1 = an + d

≈сли a3 = 6, а d = 2, то

a4 = 6 + 2 = 8

 ак мы уже говорили число d можно вычислить так:

d = an+1+1 Ц an

≈го еще можно высчитать по такой формуле:

d=(an-a1)/(n-1)

Ќапример, a1 = 1, a9 = 17, n = 9, тогда d =17 +1 +1 Ц 17 = 2

»ли, если высчитать по второй формуле: d = (17 Ц 1)/(9 Ц 1) = 16/8 = 2

ƒл€ того чтобы найти любой член прогрессии, когда вам дано значение a1 (первый член прогрессии) и d (разность между членами прогрессии) используйте такую формулу:

an = a1 + d *(n Ц 1)

¬оспользуемс€ данными предыдущего примера: a1 = 1, d = 2, n = 9, тогда

an = 1 + 2 * (9 Ц 1) = 1 + 16 = 17

„тобы вычислить первый член прогрессии используйте эту же формулу, немного изменив ее. √рубо говор€, помен€йте в предыдущей формуле a1 и an местами и мен€ем плюс на минус. ¬от что у вас должно получитьс€:

a1 = an - d *(n Ц 1)

ƒавайте также не будем придумывать новые значени€ и воспользуемс€ Ђстарымиї:

an = 17, d = 2, n = 9

«начит

a1 = 17 - 2 * (9 Ц 1) = 1

Ќу, вот мы и рассказали об арифметических прогресси€х. “аким образом, арифметическа€ прогресси€ Ц это ни что иное как определенна€ последовательность чисел, где каждый последующий член получаетс€ путем прибавлени€ к предыдущему одного и того же числа. ћожно привести такие примеры арифметических прогрессий: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10ЕЕЕЕЕ; 5,10,15,20,25,30ЕЕЕЕЕЕЕ..; 1,3,5,7,9,11ЕЕЕЕЕ.; -5,-3,-1,1,3,5,7ЕЕЕЕ . ƒл€ вычислени€ данных арифметических прогрессий используютс€ различные формулы. „аще всего необходимо найти первый член прогрессии, n-ный член, разность прогрессии.

deb
»ван »ванов

ох - как сложно, но автор разложил все по полочкам, молодец, это поможет очень большому количеству людей

mas
ћарк Ѕлау

Ѕраво! –ассказать про "скучную" математику так, чтобы было интересно - ох, как не просто!

deb
ёли€ Ѕойко

≈лена, ћарк, ваших комментариев ждала особенно, так как знаю, что вы разбираетесь в математике и смогли бы сказать, если € где-то допустила ошибки. Ќу раз вам понравилось, тогда € спокойна.

¬ам необходимо или зарегистрироватьс€, чтобы оставл€ть комментарии
выбор читател€

¬ыбор читател€

16+