icon-star icon-cart icon-close icon-heart icon-info icon-pause icon-play icon-podcast icon-question icon-refresh icon-tile icon-users icon-user icon-search icon-lock icon-comment icon-like icon-not-like icon-plus article-placeholder article-plus-notepad article-star man-404 icon-danger icon-checked icon-article-edit icon-pen icon-fb icon-vk icon-tw icon-google
Юлия Бойко
Обучение

Что такое арифметические прогрессии и как их решать?

  • 4287
  • 7

Что такое арифметические прогрессии и как их решать?

П
Последовательность величин, где каждый член находится в определенной зависимости от предыдущего, называют прогрессией. В настоящий момент этот термин немного устарел и используется только в таких словосочетаниях, как арифметическая и геометрическая прогрессии. Слово «прогрессия» имеет латинские корни, а сам термин был введен в оборот Боэцием – римским богословом, государственным деятелем и философом. Применительно к математике этот термин необходимо понимать как последовательность, которая построена в соответствии с определенной логикой и которую, таким образом, можно продолжать бесконечно.

Арифметической прогрессией называют числовую последовательность, в которой каждый последующий член больше предыдущего на одно и то же число (начиная со второго члена прогрессии). Важное место в арифметической прогрессии занимает число d, которое обозначает разность прогрессии (ее еще называют шагом прогрессии), т.е. то, какая будет разница между последующими членами прогрессии. Число d можно высчитать по такой формуле:

an+1+1 – an = d

Арифметическая прогрессия считается возрастающей, если d>0 и убывающей, если d<0, а если d=0, то все члены прогрессии равняются числу a и такая прогрессия считается стационарной.

Проверить является ли числовая прогрессия арифметической можно при помощи таких формул:

a) an = 2n - 1, b) 3, 6, 9, ..., 3k, ... c) an = 1/n

Арифметические прогрессии были известны людям с давних времен. Первые упоминания о них находили еще в клинописных вавилонских табличках, а также на египетских папирусах. Здесь можно увидеть и сами прогрессии и объяснения как их необходимо решать. Так, в древнеегипетском папирусе Ахмеса, который датируется 2000 г. до н.э. есть такая задача: «Нужно разделит 10 мер ячменя между 10-ми людьми, чтобы разность между мерами составляла 1/8 мер». А в 3 веке до н.э. Диофант доказал формулу суммы членов арифметической прогрессии, а в книге Евклида «Начала» представлена формула суммы геометрической прогрессии. Геометрической прогрессией является последовательность чисел, где каждое последующее число равно предыдущему, умноженному на определенное число постоянное для данной прогрессии (q).

Есть также интересная история, связанная с арифметическими прогрессиями. Так известный немецкий математик К. Гаусс (1777 – 1855 гг.) сумел решить задачу, в которой нужно было сложить все числа от 1 до 100, всего лишь за одну минут. Дело в том, что он сумел заметить закономерность, т.е. понял, что 1+100=101, 2+99=101, 3+98=101, 4+97=101 и т.д. Тогда он умножил 101 на 50, где 50 было количеством таких сумм.

Кстати, с арифметической прогрессией связана еще одна интересная история. Считается, что математик Муавр сумел предсказать свою гибель, используя арифметическую прогрессию. Однажды он заметил, что продолжительность его сна стала увеличиваться в прогрессии, он решил посчитать время, когда она достигнет 24 часов, именно этот день он и «назначил» днем своей смерти. Все случилось в соответствии с «предсказанием». Правда, не ясно насколько можно верить такой легенде, но давайте вернемся непосредственно к прогрессиям. Для решения арифметических прогрессий существуют две основные формулы.

Чаще всего, объясняя ученикам арифметические прогрессии, учителя требуют находить ее первый член, n-ый член, разность арифметической прогрессии, а также суммы всех членов прогрессии.

Для того чтобы найти сумму n первых членов прогрессии используется такая формула:

Sn = a1 * n + d * n * (n – 1)/2

Например, a1 = 2, n = 9, d = 5

Тогда sn = 2 * 9 + 5 * 9 * (9 – 1)/2 = 18 +135 = 153

Если же n-ый член прогрессии неизвестен, но известна разность и номер n-ного числа, то сумму арифметической прогрессии можно найти так:

Sn = (a1 + an)* n/2

Так, если a1 = 5, an = 25, n = 5, то

Sn = (5 + 25) * 5 / 2 = 150/2 = 75

А для того чтобы найти n элемент прогрессии вам нужно будет воспользоваться такой формулой:

an = a1 + d * (n – 1)

Итак, пусть a1 = 3, d = 2, а n = 6

Тогда an = 3 + 2 * (6 – 1) = 5 * 5 = 25

Можно использовать такую формулу для нахождения соседних элементов прогрессии:

an + 1 = an + d

Если a3 = 6, а d = 2, то

a4 = 6 + 2 = 8

Как мы уже говорили число d можно вычислить так:

d = an+1+1 – an

Его еще можно высчитать по такой формуле:

d=(an-a1)/(n-1)

Например, a1 = 1, a9 = 17, n = 9, тогда d =17 +1 +1 – 17 = 2

Или, если высчитать по второй формуле: d = (17 – 1)/(9 – 1) = 16/8 = 2

Для того чтобы найти любой член прогрессии, когда вам дано значение a1 (первый член прогрессии) и d (разность между членами прогрессии) используйте такую формулу:

an = a1 + d *(n – 1)

Воспользуемся данными предыдущего примера: a1 = 1, d = 2, n = 9, тогда

an = 1 + 2 * (9 – 1) = 1 + 16 = 17

Чтобы вычислить первый член прогрессии используйте эту же формулу, немного изменив ее. Грубо говоря, поменяйте в предыдущей формуле a1 и an местами и меняем плюс на минус. Вот что у вас должно получиться:

a1 = an - d *(n – 1)

Давайте также не будем придумывать новые значения и воспользуемся «старыми»:

an = 17, d = 2, n = 9

Значит

a1 = 17 - 2 * (9 – 1) = 1

Ну, вот мы и рассказали об арифметических прогрессиях. Таким образом, арифметическая прогрессия – это ни что иное как определенная последовательность чисел, где каждый последующий член получается путем прибавления к предыдущему одного и того же числа. Можно привести такие примеры арифметических прогрессий: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10……………; 5,10,15,20,25,30…………………..; 1,3,5,7,9,11…………….; -5,-3,-1,1,3,5,7………… . Для вычисления данных арифметических прогрессий используются различные формулы. Чаще всего необходимо найти первый член прогрессии, n-ный член, разность прогрессии.

deb
Иван Иванов

ох - как сложно, но автор разложил все по полочкам, молодец, это поможет очень большому количеству людей

mas
Марк Блау

Браво! Рассказать про "скучную" математику так, чтобы было интересно - ох, как не просто!

deb
Юлия Бойко

Елена, Марк, ваших комментариев ждала особенно, так как знаю, что вы разбираетесь в математике и смогли бы сказать, если я где-то допустила ошибки. Ну раз вам понравилось, тогда я спокойна.

Вам необходимо или зарегистрироваться, чтобы оставлять комментарии
выбор читателя

Выбор читателя

16+