В 14 лет поступил в Московскую студию балета, которую содержал частный преподаватель, в 18 лет закончил Хореографический техникум. Затем сразу был принят в труппу Большого, где и проработал до 1939 года. Здесь он проработал и в качестве танцовщика, и в качестве балетмейстера – ставил несколько парадов физкультурных парадов. Одновременно учился в Университете искусств.
В 1937 году в возрасте 31 года воплотил в жизнь свою мечту - первый в СССР профессиональный ансамбль танца народов мира. Однако перед тем, как решиться на такое, Игорь Александрович заручился поддержкой В. М. Молотова. Затем этот ансамбль был переименован в Государственный ансамбль народного танца СССР, а его первая репетиция была осуществлена 10 февраля 1937 года. В 1991 году он получмл новое название «Государственный академический ансамбль народного танца под руководством Игоря Моисеева», а после смерти руководителя стал называться имени Моисеева.
В 1943 году при этом ансамбле была организована единственная в России профессиональная школа танцев народа мира. В 1966 году он же создал концертный ансамбль хореографического направления «Молодой балет», которым руководил до 1970 года. Ныне этот замечательный балет продолжает гастролировать по стране, однако, уже под другим названием.
Игорь Александрович рассказывал, что от него восемнадцать раз требовали того, чтобы он вступил в КПСС. Но он каждый раз отказывался, объясняя это принципиальными соображениями.
За всю свою жизнь Моисеев был награждён немалым количеством премий и наград. Народного артиста СССР он получил в 1953 году в возрасте 47 лет. В 1976 году стал Героем Социалистического Труда, в 1967 году – Лауреат Ленинской премии, в разные годы получил три Сталинские премии, а в 1985 году получил Государственную премию СССР. Кроме этого Моисеев имеет звание народного артиста Бурятской АССР, народного артиста Молдавской СССР, народный артист Киргизской СССР, почётный профессор академии в Пекине.
Игорь Александрович Моисеев был женат 3 раза. Первая жена Моисеева Нина Борисовна Подгорецкая, прима-балерина Большого, помогала своему мужу создавать собственный ансамбль танца. Вторая жена Тамара Зейфер, педагог-репетитор. От этого брака у Моисеева есть дочь Ольга, которая увидела свет в 1943 году. Следующая жена Ирина Алексеевна Моисеева, в ансамбле танцевала с 1941 года.
Игорь Александрович Моисеев покинул этот мир в 2007 году в возрасте 101 года от гипертонической болезни и её серьёзных осложнений. Похоронен на Новодевичьем кладбище.
В середине 60-х годов балетмейстер начал увлекаться сбором марок. Основой этой коллекции стали подаренные марки Венгрии. Случилось это в середине прошлого столетия, но об этом альбоме Моисеев вспомнил лишь через несколько лет. Затем коллекция активно пополнялась марками самых разных стран, но большинство из них посвящены танцам и народным костюмам.
