Линейка и циркуль – инструменты, известные еще со времен Древнего Египта, где наука геометрия возникла первоначально, как приемы работы землемеров, восстанавливавших границы полей после очередного разлива Нила. Отсюда и название науки. «Геометрия» – по-гречески «землемерие».
Линейка – инструмент для проведения прямых линий, а циркуль – инструмент для проведения простейшей из кривых линий, окружности. Обычно древние геометры обходились веревкой и колышками. Веревка, натянутая между двух колышков позволяла провести прямую линию. А веревка, прикрепленная к одному колышку, позволяла начертить на поверхности земли окружность. Просто, и даже можно сказать, примитивно. А какое могучее математическое древо выросло на этой нехитрой, удобренной речным илом, почве!
Уже в Древнем Египте знали, что отношение длины окружности к ее диаметру – постоянное число: длина окружности в три с небольшим раза больше диаметра. Архимед, отличавшийся практической сметкой при решении теоретических задач, определял соотношение длины окружности и ее диаметра, вписывая в окружность и описывая вокруг нее различные многоугольники. Его результат был: 22/7 ≈ 3,142857142857143.
Однако точного значения отношения длины окружности к ее диаметру ни в древние времена, ни во времена более поздние никто вычислить не смог. Более того, задачу построения с помощью циркуля и линейки квадрата, площадь которого была бы равна площади данного круга, никто не смог решить в течение более чем 25 веков. Эта простенькая на вид задача, которая называлась задачей квадратуры круга, стала одним из символов задачи, над которой сколько ни бейся, все равно не решишь. Вроде вечного двигателя.
В 18-м веке это знаменитое число, отношение длины окружности к ее диаметру, стали обозначать первой буквой греческого слова περίμετρος – периметр. И только в 19-м веке было доказано, что задача квадратуры круга решения не имеет.
Уже во времена Эвклида математики знали, что с помощью циркуля и линейки можно выполнить все четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление, а также извлечение квадратного корня. В 1882 году немецкий математик Фердинанд фон Линдеман (1852 — 1939) доказал, что число π нельзя получить только в результате этих действий, а значит, отрезок такой длины нельзя построить с помощью циркуля и линейки.
Число π – необычное число. Отчасти это связано с тем, что с его помощью связываются две вещи, которые в нашем сознании видятся противоположными, прямота и кривизна.
Во-первых π — иррациональное число. Это значит, что его невозможно точно представить в виде частного двух целых чисел. Как следствие, десятичное представление числа π никогда не заканчивается и не является периодической десятичной дробью. Приближение, найденное Архимедом, о котором говорилось выше, является первым из других попыток представить число π в виде правильной дроби. 223⁄71, 355⁄113,103993/33102 – это все более точные приближения числа π. Но только приближения.
Во-вторых π — число трансцендентное. Трансцендентное число не может быть корнем никакого степенного уравнения с целыми коэффициентами: ни линейного, ни квадратного, ни кубического и никакого другого более высокой степени. Именно этот факт был доказан уже упомянутым математиком Линдеманом, в результате чего стала ясной невозможность квадратуры круга.
Необычность числа π всегда привлекала математиков и вдохновляла их на разные математические подвиги в области чистого разума. Выдающийся русский математик Леонард Эйлер (1707 — 1783) открыл соотношение, связывающее несколько важных для математики чисел: 0, 1, мнимой единицы i, числа e, которое еще называют числом Эйлера, и числа π.
Было найдено множество красивых формул, пригодных для вычисления этого удивительного числа. Вслед за этим началась гонка по возможно более точному вычислению π. Практического значения эта гонка не имела никакого, разве что доставляла математикам странное удовольствие от вглядывания в бесконечность, которое испытывают почти все люди, стоящие, например, на краю бездонной пропасти. И страшно, и удивительно, что такое может быть, и хочется проверить, далеко ли придется падать.
Еще до революции гимназистами были придуманы мнемонические правила, позволявшие получить очень большое количество знаков после запятой для числа π. Например ритмическое псевдостихотворение
Три, четырнадцать, пятнадцать, девяносто два и шесть
дает 7 цифр после запятой для этого удивительного числа. Это – очень высокая точность. Хотите больше? Я.И.Перельман в своей книге «Занимательная геометрия» приводит стишок:
Это я знаю и помню прекрасно
Пи многие знаки мне лишни, напрасны
Количество букв в каждом слове этого стишка – очередная цифра в представлении числа π: 3.14159265358. Стишок формулирует верную мысль: знать число π такой точностью ни к чему.
После изобретения компьютеров вычисление числа π стало не только странным математическим видом спорта, но и одним из тестов проверки быстродействия вычислительных машин. Один из основателей компьютерных наук, Джон фон Нейман (1903 — 1957) в 1949 году загрузил только что появившийся компьютер ЭНИАК вычислением 2037 цифр числа π. Этот процесс занял 70 часов. Миллион цифр были вычислены в 1973 году. Казалось бы, бесполезная задача использовалась не только для обкатки новой вычислительной техники, но и для проверки новых алгоритмов вычисления.
Ну, и напоследок. Есть много забавных праздников. Например, день программиста, который празднуют в 256 день года (о чем написано в публикации от 21.12.2013). Существует и «День числа пи». Этот праздник ежегодно отмечается 14 марта. Эта дата в американском формате записи дат (сначала месяц, а потом день) записывается как 3.14. Естественно, что бокалы, рюмки и мензурки со спиртом в честь этого праздника следует поднимать в 14 марта ровно в 01:59. В этом случае дата и время совпадут с первыми разрядами числа пи = 3.14159.
Кстати, 14 марта – это еще и день рождения Альберта Эйнштейна.
Кому не хватило, может отметить также 22 июля «Днём приближённого числа Пи». В европейском формате записи дат этот день записывается так: 22/7. Это первое приближение к значению числа Пи, открытое еще Архимедом.
